Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．

（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），

∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），

将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：

3=3a，∴a=1，

∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x²﹣4x+3；

（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，

∴AC×BC=6，

∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，

∴二次函数对称轴为x=2，

∴AC=3，

∴BC=4，

∴B点坐标为：（2，4），

一次函数解析式为；y=kx+b，

∴，解得：，

y=x+；

（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，

∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，

∵AC=1+2=3，BC=4，

∴AB=5，AM=3，

∴BM=2，

∵∠MBP=∠ABC，

∠BMP=∠ACB，

∴△ABC∽△CBM，

∴，

∴，

∴PC=1.5，

P点坐标为：（2，1.5）．