Question

如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（），对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；

（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）。

（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得C D=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形。

（3）抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）

【解析】

分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得C D=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形。

（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x²+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个。

解：（1）∵二次函数图象的对称轴为直线，∴设二次函数的解析式为：，

∵点A（0，﹣3），B（）在抛物线上，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：，即。

（2）证明：如图，连接CD、DE、EF、FC，

∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

∴四边形PMON为矩形。

∴PM=ON，PN=OM。

∵PC=MP，OE=ON，∴PC=OE。

∵MD=OM，NF=NP，∴MD=NF。

∴PF=OD。

∵在△PCF与△OED中，，

∴△PCF≌△OED（SAS）。∴CF=DE。

同理可证：△CDM≌△FEN，∴CD=EF。

∵CF=DE，CD=EF，∴四边形CDEF是平行四边形。

（3）假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形，

设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，

则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．

若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，

∴，即，化简得：m²=n²。

∴m=n，即矩形PMON为正方形。

∴点P为抛物线与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点。

联立，解得。

∴P₁（），P₂（）。

联立，解得。

∴P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。

∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。