Question

数学课上，老师出示图和下面条件：

如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点坐标为(1，0)，点B在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA．过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y＝x²的图像于点C和D．直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H．记点C、D的横坐标分别为x_C、x_D，点H的纵坐标为y_H．

同学发现两个结论：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；②数值相等关系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)请你验证结论①和结论②成立；

(2)请你研究：如果将上述条件“A点坐标为(1，0)”改为“A点坐标为(t，0)(t＞0)”，其他条件不变，结论①是否仍成立？(请说明理由)

(3)进一步研究：如果将上述条件“A点坐标为(1，0)”改为“A点坐标为(t，0)(t＞0)”，又将条件“y＝x²”改为“y＝ax²(a＞0)”，其他条件不变，那么x_C、x_D和y_H有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(1，1)，点D的坐标为(2，4)，由点C坐标为(1，1)易得直线OC的函数解析式为y＝x， 　　∴点M的坐标为(2，2)， 　　∴S△CMD＝1，S梯形ABMC＝， 　　∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即结论①成立； 　　设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b， 　　则得 　　∴直线CD的函数解析式为y＝3x－2． 　　由上述可得，点H的坐标为(0，－2)，yH＝－2． 　　∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝－yH，即结论②成立． 　　(2)结论①仍成立． 　　∵点A的坐标为(t，0)(t＞0)，则点B坐标为(2t，0)，从而点C坐标为(t，t2)，点D坐标为(2t，4t2)，设直线OC的函数解析式为y＝kx，则t2＝kt，得k＝t， 　　∴直线OC的函数解析式为y＝tx． 　　设点M的坐标为(2t，y)， 　　∵点M的直线OC上， 　　∴当x＝2t时，y＝2t2，点M的坐标为(2t，2t2)，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝(·2t2·t)∶〔(t2＋2t2)〕＝2∶3，∴结论①仍成立． 　　(3)xC·xD＝－yH，由题意，当二次函数的解析式为y＝ax2(a＞0)，且点A坐标为(t，0)(t＞0)时，点C坐标为(t，at2)，点D的坐标为(2t，4at2)． 　　设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b， 　　则得 　　∴直线CD的函数解析式为y＝3atx－2at2，则点H的坐标为(0，－2at2)，yH＝－2at2． 　　∵xC·xD＝2t2， 　　∴xC·xD＝－yH．