Question

如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：
①∠APM=45°；②；③∠BIM=∠BAP；④．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①连接OM．根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行解答；
②连接AM、BM．根据三角形PIB的外角定理、三角形的内心的定义证得△MBI的两边MB=IM；根据勾股定理求得AB=MB．易证该结论；
③利用反证法证明；
④根据直角三角形内切圆半径公式、圆的半径与直径是数量关系求得IN+OB=（AP+BP）；然后借助折弦定理证得结论．
解答：解：①如图，连接OM．
∵点M是半圆的中点，
∴∠AOM=90°．
又∠APM=∠AOM，
∴∠APM=45°；
故本选项正确；
②连接AM、BM．
∵点M是半圆的中点，
∴AM=BM，
∴AB=MB．
设∠ABI=α，则∠MIB=45°+∠PBI=45°+α=∠MBI，
∴MB=IM．
∴AB=IM；
故本选项正确；
③设∠PBA=β．
∵点I为△ABP的内心，
∴PI、BI分别是∠APB、∠ABP的角平分线，
∴∠PIB=∠PIN+（90°-β）=135°-β．
若∠BIM=∠BAP，则有∠BIM+∠PIB=∠BAP+∠PIM=90°-β+135°-β=180°，
∴β=30°．
∵P点是圆上一动点，
∴不能保证∠PBA=30°；
∴∠BIM与∠BAP不一定相等．
故本选项错误；
④根据直角三角形内切圆半径公式知，IN=，则IN+OB=（AP+BP），
折弦求和得，AP+BP=PM，
∴；
故本选项正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
点评：本题考查了圆的综合题．本题涉及到的知识点有：圆周角定理，直角三角形的内切圆半径公式，三角形的内切圆的性质以及等腰三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．