Question

已知，如图，二次函数y=ax²+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

       解：（1）依题意，得ax²+2ax﹣3a=0（a≠0），

两边都除以a得：

即x²+2x﹣3=0，

解得x₁=﹣3，x₂=1，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），

答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．

证明：∵直线l：，

当x=﹣3时，，

∴点A在直线l上．

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：对称，

∴AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则，，

∴顶点，

代入二次函数解析式，解得，

∴二次函数解析式为，

答：二次函数解析式为．

（3）直线AH的解析式为，

直线BK的解析式为，

由，

解得，

即，

则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2），

∴HN+MN的最小值是MB，

过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，

则QM=MK，，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB===8，

∴HN+NM+MK的最小值为8，

答：HN+NM+MK和的最小值是8．