Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6，CD=

104

，点E在AB上，BE=4．
（1）线段AB=

10

；
（2）试判断△CDE的形状，并说明理由；
（3）现有一动点P在线段EA上从点E开始以每秒1个单位长度的速度向终点A移动，设移动时间为t秒（t＞0）．问是否存在t的值使得△CDP为直角三角形？若存在直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点D作DF⊥BC于点F，利用勾股定理求出DF的长，进而得出AB的长；
（2）利用勾股定理分别得出CE，DE的长，进而利用勾股定理逆定理得出△CDE的形状；
（3）分别根据∠DPC=90°，∠PDC=90°时，利用勾股定理以及相似三角形的判定与性质求出即可．

解答：解：（1）过点D作DF⊥BC于点F，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6，
∴AD=BF=4，
∴FC=2，
∵CD=

104

，
∴DF=

( 104 )2-22

=10，
∴AB=10，
故答案为：10；

（2）△CDE的形状是等腰直角三角形，
理由如下：
∵在△BEC中∠B=90°
∴CE=

BE2+BC2

=

42+62

=

52

；
∵在△AED中，∠A=90°，AD=4   AE=AB-BE=6
∴DE=

AD2+AE2

=

42+62

=

52

；
∴CE=DE，
∵CE²+DE²=（

52

）²+（

52

）²=104，
CD2=(

104

)2=104，
∴CE²+DE²=CD²，
∴∠DEC=90°
∴△CDE的形状是等腰直角三角形；

（3）如图2，当t秒时，∠DPC=90°，
则∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴

AP

BC

=

AD

BP

，
∴

6-t

6

=

4

4+t

，
解得：t=2，
如图3，当t秒时，∠PDC=90°，
∴PD²+CD²=PC²，
∴AD²+AP²+（

104

）²=BP²+BC²，
∴4²+（6-t）²+=（4+t）²+6²
解得：t=5.2，
综上所述：当t=2或t=5.2时，△CDP为直角三角形．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质与勾股定理以及逆定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．