Question

8．如图所示．抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（4，5）两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线的顶点为点D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接AD，点F为AD的中点．求出线段EF的长．
（3）点M（0，2）在y轴上，点E在对称轴上，在直线AD上找一点F，使ME+EF最小，并求出点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标分别代入函数关系式，得到关于b、c的方程组，通过解方程组得到它们的值；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质进行解答；
（3）点M关于对称轴的对称点为点M′，连接FM′，设直线FM′与对称轴x=1的交点为E，则此时ME+EF的值最小，再求得点E的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（4，5）分别代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故该抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）如图1，由（1）知，∵抛物线的解析式是为：y=x²-2x-3．
∴y=（x-3）（x+1），则A（-1，0）．
又∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
∴AD=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0+4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵点F为AD的中点，
∴EF是直角△AED斜边上的中线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$；

（3）∵由（2）知，顶点D（1，-4），
∴对称轴是x=1．
∵M（0，2）与点M′关于直线x=1对称，
∴M′（2，2）
如图2，设直线FM′与对称轴x=1的交点为E，则此时ME+EF的值最小．
∵ME+EF=M′E+EF=M′F．
∴当FM′⊥AD时，ME+EF的值最小．
∵A（-1，0）、D（1，-4），
∴直线AD的解析式为：y=-2x-2，
∴设直线FM′为y=$\frac{1}{2}$x+a．
把M′（2，2）代入得到：2=$\frac{1}{2}$×2+a，
解得a=1．
∴直线FM′的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{x=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
故点E的坐标是（1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题．抛物线与x轴的交点问题，轴对称-最短路线问题，求得抛物线的解析式和直线的解析式是解题的关键．