Question

【题目】如图，为圆的直径，为圆上一点，为延长线一点，且，于点．

（1）求证：直线为圆的切线；

（2）设与圆交于点，的延长线与交于点，

①求证：

②若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．

（2）①过点作直径，连接，，运用已知条件证明，即可得到，即.

②利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值

（1）证明：∵于点∴，

∵，∴是的中点，又∵是的中点，

∴是的中位线，

∴，∴

∴，又∵点在圆上，

∴是圆的切线．

（2）①证明：过点作直径，连接，，

∵是直径，∴∴

∵是圆的切线，∴，

∴∴

∵，∴

∵，∴

∴∴．

②∵直径，∴即

∵∴

∵∴

∴∴

∵∴

在中．