Question

老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在等边△ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM=60°．
（1）请你完成这道思考题的证明．
（2）做完（1）后，同学们进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中的点M，N分别移到BC，CA的延长线，直线AM，BN交于点Q，是否仍能得到∠BQM=60°？请你作出判断，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件得△ABM≌△BCN，得∠BAM=∠CBN，又因为∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°，所以∠QBA+∠BAM=60°，即有∠BQM=60°；
（2）和（1）同样的求法可得△ABM≌△BCN，然后利用三角形外角的性质求∠BQM=60°．

解答：解：（1）在△ABM和△BCN中，

BM=CN ∠B=∠C AB=BC

，
∴△ABM≌△BCN（SAS）．
∴∠BAM=∠CBN（全等三角形对应角相等）．
∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°（已知），
∴∠QBA+∠BAM=60°（等量代换）．
∴∠BQM=60°；

（2）∵BM=CN（①的结论），
∴CM=AN（等量代换）．
∵AB=AC，∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°（平角的性质），
在△BAN和△ACM中，

BA=AC  ∠BAN=∠ACM AN=CM

，
∴△BAN≌△ACM（SAS）．
∴∠NBA=∠MAC，
∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=180°-∠NCB-（∠CBN-∠NAQ）=180°-60°-60°=60°（三角形内角和定理）．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质；此题把全等三角形的判定和性质结合求解．有利于培养学生综合运用数学知识的能力，全等三角形的证明是正确解答本题的关键．