题目内容
（2008•绍兴）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断：①
是
是
；②是
是
；③否
否
．并对②，③的判断，选择一个给出证明．分析：（1）根据BM=NC，∠ABM=∠BCN，AB=BC，（ASA）判定△ABM≌△BCN，所以∠BAM=∠CBN，则∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60度；
（2）②同样还是根据条件判定△ACM≌△BAN，得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，即∠BQM=60°；③同上，证明Rt△ABM≌Rt△BCN，得到∠AMB=∠BNC所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°，即∠BQM≠60°
（2）②同样还是根据条件判定△ACM≌△BAN，得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，即∠BQM=60°；③同上，证明Rt△ABM≌Rt△BCN，得到∠AMB=∠BNC所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°，即∠BQM≠60°
解答：
证明：（1）∵BM=NC，∠ABM=∠BCN，AB=BC，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
∵∠ACM=∠BAN=120°，CM=AN，AC=AB，
∴△ACM≌△BAN，
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：如图，
∵BM=CN，AB=BC，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠AMB=∠BNC．
又∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．
证明：（1）∵BM=NC，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
∵∠ACM=∠BAN=120°，CM=AN，AC=AB，
∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：如图，
∵BM=CN，AB=BC，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠AMB=∠BNC．
又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．
点评：主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质的运用．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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（1）在下图中，补全这50名同学捐书情况的频数分布直方图；
（2）若九年级共有475名同学，请你估计九年级同学的捐书总册数及学辅类书的册数．
| 种类 | 文学类 | 科普类 | 学辅类 | 体育类 | 其它 | 合计 |
| 册数 | 120 | 180 | 140 | 80 | 40 | 560 |
（2）若九年级共有475名同学，请你估计九年级同学的捐书总册数及学辅类书的册数．
