题目内容

如图(A)，△ABC的两内角平分线BD和CE交于F．

(1)求证：F到AB，BC和AC边的距离相等；

(2)连接AF，求证：AF平分∠BAC；

(3)求证：三角形中三条内角的平分线相交于一点，而且这个点到三角形三条边的距离相等；

(4)怎样找出在△ABC内到三边距离相等的点？

(5)若将“△ABC的两个内角平分线BD和CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD和CE交于F”，如图(b)所示，那么(1)～(3)题的结论是否会改变？怎样找出在△ABC外到三条边所在的直线距离相等的点？满足条件的这样的点共有多少个？

答案：
解析：

　　(1)证明：过点F作FM，FN，FQ分别垂直于AB，AC，BC，垂足为M，N，Q．

　　∵BD是△ABC的角平分线，点F在BD上，∴FM＝FQ．同理FN＝FQ．

　　∴FM＝FN＝FQ．即点F到三边AB，AC，BC的距离相等．

　　(2)证明：由(1)可知FM＝FN∵FM⊥AB，FN⊥AC，∴AF平分∠BAC．

　　(3)证明：由(1)，(2)可知：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等．

　　(4)解：只需作两个内角的平分线即可．

　　(5)解：结论不改变．只需作每个顶点处的两个外角，共计作出六个外角的平分线，因此得出三个点．另外在内部还有一个，所以共计有四个．


提示：

　　(1)通过此题达到巩固角平分线的性质和判定的目的．

　　(2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这一点在第三条直线上．

　　(3)引导学生对题目的条件进行类比联想(第(5)题)，观察结论如何变化，培养发散思维能力．


练习册系列答案
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25、如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF．
（1）求证：∠EAF+∠EDF=180°；
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD=BD时，连接AP，交⊙O于G，连接DG．设∠EDG=∠α，∠APB=∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论．[在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答]
精英家教网如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为（　　）
A、
5
3
B、
2
3
-1
3
C、
3
2
-1
3
D、
3
5
精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，D为AB的中点，则CD=
 
cm．
精英家教网已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P是AC上一动点（P不与A、C两点重合），连接PB，以PB为直径的圆交AB于点D，过点D作AC的垂线分别交AC于点E、交圆于点F，连接PF交AB于G．
（1）试问当点P在AC上运动时，∠BPF的大小是否发生变化，请证明你的结论；
（2）设PC=x，EF=y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）当点P在AC上运动时，判断△DPG与△CBP、△EFP与△DPG是否分别一定相似？若一定相似，请加以证明；若不一定相似，请指出当x为何值时，它们就能相似？
如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
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