Question

在矩形OABC中，OA=8，OC=6，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x²+bx+c经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，若点M（x，y）是第一象限中抛物线y=-x²+bx+c上一点，连接AM，MC，设四边形OAMC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并回答：x为何值时S取得最大值？
（3）如图2，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C时停止．问：能否在抛物线y=-x²+bx+c上找到点D，使得以P，D，C为顶点的三角形是等腰直角三角形？如果能，请求出D点坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性质得B（8，6），C（0，6），代入y=-x²+bx+c中，列方程组求b、c的值；
（2）过M点作MN⊥x轴，垂足为N，将四边形OAMC的面积分为直角梯形和三角形的面积求解，根据二次函数的性质求S的最大值；
（3）能．分为P在AB上，P在CD上，两种情况，以CP为等腰直角三角形的直角边或斜边，根据等腰直角三角形的性质，求满足条件的D点坐标．
解答：解：（1）依题意，得B（8，6），C（0，6），
代入y=-x²+bx+c中，得，
解得b=，c=6；（4分）

（2）过M点作MN⊥x轴，垂足为N，由（1）可知M（x，-x²+x+6），
∴s=S_梯形CMNO+S_△AMN=（6-x²+x+6）•x+（-x²+x+6）•（8-x）=-x²+x+12，（3分）
当x=时s取得最大值．（1分）

（3）如图，又△CPD为等腰直角三角形，
当P点在AB上时，若CP为斜边，
则D₁（6，8），若CP为直角边，则D₂ （-4，-2），
当P点在BC上时，若CP为斜边，
则D₃ （2，8）．
即D₁（6，8）或D₂ （-4，-2）或D₃ （2，8）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，用解析式表示M点纵坐标，利用点的坐标表示图形的面积，形数结合求解．