Question

已知点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=于点A，连接OA．

（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化答：______（请填“变化”或“不变化”）
若不变，请求出Rt△AOP的面积=______；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）；
（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于C，设△AOP的面积是S₁，梯形BCPD的面积为S₂，则S₁与S₂的大小关系是S₁______S₂（请填“＞”、“＜”或“=”）．

Answer 1

解：（1）由于点A位于反比例函数的图象上，所以S_△AOP=|k|=．
故当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积不变，值总等于．

（2）由（1）知S_△AOP=S_△BOD，
而S_梯形BCPD＜S_△BOD，
所以S₁＞S₂．
分析：（1）根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=|k|，故Rt△AOP的面积．
（2）根据（1）中规律可知S_△AOP=S_△BOD，所以可求S_梯形BCPD＜S_△BOD．
点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．