Question

【题目】如图，已知、、、、是上五点，的直径，．为的中点，延长到点．使，连接．

(1)求线段的长；

(2)求证：直线是的切线．

(3)如图，连交于点，延长交PO交于另一点，连、，求的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接DE，如图，利用圆周角定理得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（3）由切线的性质得出∠PEF=∠PCE，则△PEF∽△PCE，由相似三角形的性质可得，在Rt△PEO中，利用勾股定理求出PO的长，即可得出的值，再根据圆周角定理得到∠CEF=90°，即可得出的值．

（1）解：连接DE，如图，

∵∠BAD =60°，
∴∠DEB=∠BAD =60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明： ∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，

∴EA⊥BA，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线；

（3）解：由（2）得△BEP为等腰直角三角形，

∴PE=BE=2，

∵BE为直径，

∴OE=OC=，

∵直线PE是⊙O的切线，CF为直径，

∴∠PEF+∠OEF =∠CEO+∠OEF=90°，

∴∠PEF=∠CEO，

∵OC=OE，

∴∠PCE=∠CEO，

∴∠PEF=∠PCE，

∵∠EPF=∠CPE，

∴△PEF∽△PCE，

∴，

在Rt△PEO中，=，

∴PC=PO+OC=+，

∵CF为直径，
∴∠CEF=90°，

∴==．