Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，过点A的直线交抛物线于另一点C，点E为抛物线的顶点，连接CE，AE，设AE交y轴于点F，点A的坐标为，且，C、D两点关于对称轴对称．

（1）若，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，试探究抛物线上是否存在一点M，使为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点P是直线AE上方抛物线上的一动点，若的面积最大值为，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点M的坐标为或；（3）

【解析】

（1）过点E作轴于点G，根据三角形中位线的性质求得点E的坐标，利用顶点式即可求得抛物线的解析式；

（2）作解图的辅助线，根据等腰直角三角形的判定和性质求得点的坐标，求得直线AC的解析式及与直线AC相互垂直的直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式即可求得点的坐标；

（3）先求得点A、B的坐标，设抛物线的表达式为，分别求得点E、F的坐标，设，求得经过A、P两点的直线解析式，利用三角形的面积公式及二次的最值即可求得答案．

（1）如图，过点E作轴于点G，

∵，

∴F为AE的中点，

又∵，

∴O为AC的中点，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴点E的坐标为，

∵点E为抛物线的顶点，

∴设抛物线的解析式为，

将点代入得，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）存在．

如图，分别过点A、C作，分别交抛物线于点、，过点作轴于点K，过点C作轴于点J，连接CD、，过点作于点L．

由（1）得，

∴，

∵顶点，

∴抛物线的对称轴为直线，

∵C、D两点关对称轴对称，

∴，

①时，

∵，

∴∠CAJ=∠ACJ=45，

∴∠AK=90∠CAJ=45，

∴，

设的坐标为，

∴，，

∴，化简得，

解得 ：，，

∴点的坐标为；

②当，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴

∵，

∴，

∴，

设直线AC的解析式为，直线的解析式为，

将，，代入得：

，解得

∴直线AC的解析式为，

∵，

∴，即直线的解析式，

将代入，得，

∴直线的解析式为，

联立直线与抛物线的解析式得，

解得或（与点C重合），

∴，即点与点E重合，

综上所述，点M的坐标为或；

（3）由（1）得，抛物线的对称轴为直线，

∵，

∴

设抛物线的表达式为，

即，

∴，

∴，

∴点P是直线AE上方抛物线上的动点，

如图，设，连接AP，直线AP与y轴交于点Q，

设经过A、P两点的直线解析式为，

则，解得，

∴经过A、P两点的直线解析式为，

∴点，

∴，

∴，

∵的面积最大值为，，

∴，

∴．