Question

8．如图弓形中，AB=30$\sqrt{3}$，弓高h为15，求：
（1）$\widehat{AB}$的半径R；
（2）$\widehat{AB}$的长度；
（3）弓形的面积．

Answer 1

分析 （1）过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，根据垂径定理得出AC=BC=$\frac{1}{2}$AB，由勾股定理得出R即可；
（2）根据三角函数先求得∠BOC=60°，继而可得$\widehat{AB}$所对圆心角度数，最后利用弧长公式求解可得；
（3）利用S_弓形=S_扇形AOB-S_△AOB求解可得．

解答 解：（1）过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，

∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=30$\sqrt{3}$，CD=h=15，
∴BC=15$\sqrt{3}$，OC=R-15，
在Rt△OBC中，OC²+BC²=OB²，
∴（R-15）²+（15$\sqrt{3}$）²=R²，
∴R=30；

（2）在Rt△OBC中，∵sin∠BOC=$\frac{BC}{BO}=\frac{15\sqrt{3}}{30}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=60°，
则$\widehat{AB}$所对圆心角度数为120°，
∴$\widehat{AB}$的长为$\frac{120•π•30}{180}$=20π；

（3）S_弓形=S_扇形AOB-S_△AOB
=$\frac{120•π•3{0}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×30$\sqrt{3}$×（30-15）
=450π-225$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查垂径定理和弧长公式、扇形的面积计算，熟练掌握垂径定理求得圆的半径是解题的关键．