Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：

P从点O出发平移次数	可能到达的点的坐标
1	（1，0），（0，2）
2
3

（2）观察发现：
设点P（x，y），任一次平移，点P可能到达的点的纵、横坐标都满足一定的关系式．
例如：平移1次后2x+y=

2

；平移2次后2x+y=

4

；平移3次后2x+y=

6

；…．
由此我们知道，平移n次后点P坐标满足的关系式是

2x+y=2n

．
（3）探索运用：
点P从点O出发经过n次平移后达到点R，若点R的纵坐标比横坐标大6，并且点P平移的路径长不小于50，不超过56，求点R的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置，并且写出对应的坐标即可；
（2）根据（1）中表格可知平移1次后2x+y=2；平移2次后2x+y=4；平移3次后2x+y=6；…由此得出平移n次后点P坐标满足的关系式是2x+y=2n；
（3）设点R的坐标为（x，y），先根据（2）中结论可得2x+y=2n①，由点R的纵坐标比横坐标大6可得y-x=6②，再将①与②联立组成关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，计算出x+y=

4

3

n+2，然后根据点P平移的路径长不小于50，不超过56，列出不等式组，得出n的取值范围，再根据点R的坐标为正整数即可进行解答．

解答：解：（1）如图所示：

P从点O出发平移次数	可能到达的点的坐标
1	（1，0），（0，2）
2	（1，2），（0，4），（2，0）
3	（1，4），（0，6），（2，2），（3，0）

（2）平移1次后可能到达的点的坐标为（1，0），（0，2），
如果坐标为（1，0），那么2x+y=2×1+0=2；如果坐标为（0，2），那么2x+y=2×0+2=2．
即平移1次后2x+y=2；
平移2次后可能到达的点的坐标为（1，2），（0，4），（2，0），
如果坐标为（1，2），那么2x+y=2×1+2=4；如果坐标为（0，4），那么2x+y=2×0+4=4；如果坐标为（2，0），那么2x+y=2×2+0=4．
即平移2次后2x+y=4；
同理可求出平移3次后2x+y=6；
∵平移1次后2x+y=2，2=2×1；
平移2次后2x+y=4，4=2×2；
平移3次后2x+y=6，6=2×3；
…，
∴平移n次后点P坐标满足的关系式是2x+y=2n；

（3）设点R的坐标为（x，y），
由题意，得

2x+y=2n y-x=6

，
解得

x= 2 3 n-2 y= 2 3 n+4

，
∴x+y=

4

3

n+2．
∵平移的路径长为x+y，
∴50≤x+y≤56，
∴50≤

4

3

n+2≤56，
∴36≤n≤40.5．
∵x、y都是整数，
∴n是3的倍数，
∴n=36，39．
当n=36时，x=

2

3

×36-2=22，y=

2

3

×36+4=28；
当n=39时，x=

2

3

×39-2=24，y=

2

3

×39+4=30；
∴点R的坐标为（22，28），（24，30）．
故答案为2；4；6；2x+y=2n．

点评：本题考查了一次函数图象与几何变换，二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，难度适中．通过动手操作，观察发现得出平移n次后点P（x，y）的坐标满足的关系式2x+y=2n是解答此题的关键．