Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过A点作AD⊥x轴于D，已知OA=

5

，

AD

OD

=

1

2

，点B的坐标为（

1

2

，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）试问在y轴上是否存在着点P使S_△APB=5？如果有，请求出P点坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD、AD，确定A点坐标，根据反比例函数图象上的点横坐标与纵坐标的积不变，求B点纵坐标，根据A、B两点坐标求直线AB的解析式以及反比函数解析式，
（2）根据A、B两点的横坐标，可求当一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）利用S_△APB=5，以及利用A，B点的横坐标得出EP的长度即可．

解答：解：（1）如图，连接OB，在Rt△AOD中，OA=

5

，AD=

1

2

OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，
故A（-2，1），
则反比例函数解析式为：xy=k=-2，
y=-

2

x

，
已知B点横坐标为

1

2

，
则（-2）×1=

1

2

m，
解得m=-4，
故B（

1

2

，-4），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=1 1 2 k+b=-4

，
得

k=-2 b=-3

，
直线AB解析式为y=-2x-3，

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，
即反比函数图象在一次函数的上方时，
利用图象可以得出，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞

1

2

；

（3）∵直线AB解析式为y=-2x-3，
∴图象与y轴交于点E（0，-3），
∴EO=3，
∵S_△APB=5，A点横坐标为：-2，B点横坐标为：

1

2

，
∴S_△AEP=

1

2

×2×PE=PE，
S△_PEB=

1

2

×

1

2

PE，
∴

1

4

PE+PE=

5

4

PE=5，
∴PE=4，
∴P点坐标为：（0，1），
若P点在E点下方，可以得出P′E=4，
∴P′点坐标为（0，-7）．
故P点坐标为：（0，1）或（0，-7）

点评：此题主要考查了反比函数的综合题以及三角形面积求法和待定系数法求一次函数解析式，根据数形结合得出函数值的大小关系是解题关键．