Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点M，且分正方形为四个三角形，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄分别为△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的内切圆，已知AB=1．则⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄．所夹的中心（阴影）部分的面积为（　　）

• A、

  (4-π)(3-2 2 )

  16

• B、

  (3-2 2 )π

  4

• C、

  (4-π)(3-2 2 )

  4

• D、

  1-π

  16

Answer 1

分析：结合题意，四个小圆为等圆，顺次连接O₁O₂O₃O₄，设O₁O₂与AD的交点E，利用切线的性质可知，AE=

1

2

BC，又可根据正方形的性质得出BD的长，即BM=

1

2

BD，从而可得出EM的长，即可得出圆的半径为ME=MB-BE，结合图形可知，阴影部分的面积为正方形O₁O₂O₃O₄的面积减去四个小扇形的面积．

解答：解：根据题意，顺次连接O₁O₂O₃O₄，
四个小圆为等圆，且四边形O₁O₂O₃O₄为正方形，
设O₁O₂与BD的交点E，
又AB=1，
故BD=

2

，BE=

1

2

，MB=

2

2

，
所以ME=

2 -1

2

，
即小圆的半径为

2 -1

2

，
所以O₁O₂=

2

-1，
即S_正方形=3-2

2

，
又一四个扇形组成的面积S=(

2 -1

2

)2π=

3-2 2

4

π，
S_阴影=S_正方形-S=3-2

2

-

3-2 2

4

π=

(4-π)(3-2 2 )

4

；
故答案为

(4-π)(3-2 2 )

4

．

点评：本题主要考查了相切两圆的性质以及扇形面积的求法和有关正方形的有关知识，有一定的综合性和难度，望同学们对题目多加分析和理解，认真完成题目．