Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点为A、B，对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交于点C，且OB=OC＞2，下面五个结论：
①bc＜0；②4a+2b+c＞0；③2a+b=0；④一元二次方程ax²+bx+c=-2必有两个不相等的实数根；⑤

1

a

+c=-2．
那么，其中正确的结论是

③④⑤

．

Answer 1

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0．
∵该抛物线的对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0．
又∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0．
故本选项错误；

②∵OB=OC＞2，
∴当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0．
故本选项错误；

③∵该抛物线的对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b+2a=0．
故本选项正确；

④∵OC＞2，
∴当y=-2时，该函数上所对应的点有两个，即一元二次方程ax²+bx+c=-2必有两个不相等的实数根；
故本选项正确；

⑤设B（t，0），则C（0，-t）．则

at2+bt+c=0 c=-t 1=- b 2a

，
解得，t=2+

1

a

，
∴c=-2-

1

a

，
则

1

a

+c=-2．
故本选项正确；
综上所述，正确的结论有：③④⑤．
故答案是：③④⑤．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．