题目内容
使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2个正整数平方和的自然数n（ ）A．不存在
B．有1个
C．有2个
D．有无数个
【答案】分析：根据将原式变形得出原式=2（n2+3n）（n2+3n+2）+12，利用换元法进而得出原式=4（2k2+2k+3），再利用数的奇偶性分析得出即可．
解答：解：∵2n（n+1）（n+2）（n+3）+12
=2（n2+3n）（n2+3n+2）+12，
假设n2+3n+1=t，
则t为奇数，
故令t=2k+1，
∴原式=4（2k2+2k+3）．
若原式可表示为两个正整数x，y的平方和x2+y2，可知x，y均为偶数，不妨设x=2u，
y=2v，于是，有u2+v2=2k 2+2k+3=2k（k+1）+3为4p+3型，
其中P为正整数，而u2+v2不可能是4p+3型，
故满足条件的自然数n不存在．
故选：A．
点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，利用换元法将原始变形利用数的奇偶性得出原式正确性是解决问题的关键．
解答：解：∵2n（n+1）（n+2）（n+3）+12
=2（n2+3n）（n2+3n+2）+12，
假设n2+3n+1=t，
则t为奇数，
故令t=2k+1，
∴原式=4（2k2+2k+3）．
若原式可表示为两个正整数x，y的平方和x2+y2，可知x，y均为偶数，不妨设x=2u，
y=2v，于是，有u2+v2=2k 2+2k+3=2k（k+1）+3为4p+3型，
其中P为正整数，而u2+v2不可能是4p+3型，
故满足条件的自然数n不存在．
故选：A．
点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，利用换元法将原始变形利用数的奇偶性得出原式正确性是解决问题的关键．
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