Question

如图，反比例函数(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=，将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E。

（1）求k的值和直线AE的函数表达式；

（2）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由.

Answer 1

（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴=，∴AB=3，∴A点的坐标为（2，3）∴k=xy=6    ；∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，

∴点E的纵坐标为，又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）设直线MN的函数表达式为y=k₁x+b，则， 解得 ，

∴直线MN的函数表达式为。…

（2）结论：AN=ME   

理由：在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=，∴点M（6，0），N（0，）…1分

解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON－OF=，∵CM=6－4=2=AF，EC==NF，

∴Rt△ANF≌Rt△MEC，∴AN=ME  

解法二：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON－OF=，∴根据勾股定理可得AN= ，∵CM=6－4=2，EC= ∴根据勾股定理可得EM=  ∴AN=ME…

解法三：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，

∵S_△EOM，S_△AON

∴S_△EOM= S_△AON，∵AN和ME边上的高相等，∴AN=ME…