Question

已知抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）求抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（2）请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线的解析式______，
伴随直线的解析式______；
（3）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是______．

Answer 1

（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），
∵设它的解析式为y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此抛物线过P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴

4ac-b2

4a

=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴随抛物线解析式为y=-ax²+c=-2x²+1；
设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直线上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴随直线解析式为y=

b

2

x+c=-2x+1；
（3）y=x²-2x-3；
故答案为：y=x²-2x-3；y=

b

2

x+c；y=-ax²+c．