Question

用火柴棒按下图的方式搭三角形．

（1）填写下表：

图形序号数	①	②	③	④	…
小三角形的个数	1	4
所需火柴棒的根数	3	9

（2）根据你的探究，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
（3）当n=100时，需要多少根火柴棒？

Answer 1

分析：观察图形，找规律，去掉重复火柴的三角形可以发现，三角形增加的个数以等差数列的形式递增，运用累加法可以求出第n个图案的三角形个数，进而求出火柴棒数．

解答：解：（1）结合图形：第一个为1个三角形，第二个为4个三角形，第三个为9个三角形，第四个为16个三角形，
去掉重复火柴的三角形，可以看成第一个为1个三角形，第二个为3个三角形，第三个为6个三角形，第四个为10个三角形．
如图：

图形序号数	①	②	③	④	…
小三角形的个数	1	4	9	16
所需火柴棒的根数	3	9	18	30

（2）由上可以得出规律，第n个图案比前一个多n个三角形，设第n个有a_n个三角形，则a_n-a_n-1=n，
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
a₄-a₃=4，
…
a_n-a_n-1=n．
方程前边加起来得：a_n-a₁=2+3+4+…+n，
∴a_n=1+2+3+4+…+n，
∴a_n=

n(n+1)

2

．
所以有

3n(n+1)

2

根火柴．

（3）当n=100时，需要火柴棒的根数：

3n(n+1)

2

=

3×100×(100+1)

2

=15150根．
故当n=100时，需要15150根火柴棒．

点评：考查了规律型：图形的变化．注意：①本题是规律性题目，要求具备较高的观察总结能力，合理利用所学知识求解．
②在做题过程中要合理利用转换思想，可以简化求解．