Question

【题目】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．

（1）若∠A=40°，∠B=76°，求∠DCE的度数；

（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数(用含α，β的式子表示)；

（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）∠DCE=18°；（2）∠DCEβα；（3）∠HGEβα．

【解析】

（1）根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据角平分线的定义得到∠ECB的度数，根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB=∠ACB=（180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；
（3）运用（2）中的方法，得到∠DCE=∠ECB-∠BCD=β-α，再根据平行线的性质，即可得出结论．

（1）∵∠A=40°，∠B=76°，

∴∠ACB=64°．

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ECB∠ACB=32°．

∵CD是AB边上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=14°，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD=32°﹣14°=18°；

（2）∵∠A=α，∠B=β，

∴∠ACB=180°﹣α﹣β．

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ECB∠ACB(180°﹣α﹣β)．

∵CD是AB边上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCDβα；

（3）如图所示．

∵∠A=α，∠B=β，

∴∠ACB=180°﹣α﹣β．

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ECB∠ACB(180°﹣α﹣β)．

∵CD是AB边上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCDβα，

由平移可得：GH∥CD，

∴∠HGE=∠DCEβα．