Question

6．如图1，在△ABC中，∠B=60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM=30°时，AB=2BM；
（2）请添加一个条件：AB=AC，使得△ABC为等边三角形；
①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：BM=CN；
②如图2，当点M运动到线段BC之外时，其它条件不变，①中结论BM=CN还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定解答；
①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．

解答 解：（1）当∠BAM=30°时，
∴∠AMB=180°-60°-30°=90°，
∴AB=2BM；
故答案为：30；
（2）添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；
故答案为：AB=AC；
①∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM=CN；
②成立，理由如下；
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM=CN．

点评 此题考查三角形的综合题，关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．