Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC，BD相交于点F，过F作EF∥AB，交AD于E．
（1）求证：梯形ABFE是等腰梯形；
（2）若△DCF的面积是12，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）过D作DG⊥AB，交AB于G．
在直角梯形ABCD中，∠BCD=∠ABC=90°．
∵∠DGB=90°，AB=2DC，
∴四边形DGBC是矩形．
∴DC=GB．
∴AB=2GB，
∴AG=GB．
∴三角形ABD是等腰三角形，即DA=DB．
∴∠DBA=∠DAB．
∵EF∥AB，AE与BF相交于点D
又∵四边形EABF是梯形．
∵∠DBA=∠DAB．
∴四边形ABFE是等腰梯形．…（3分）

（2）∵AB∥DC，
∴∠FAB=∠FCD．
∵∠AFB=∠DFC，
∴△AFB∽△CFD．
∵AB=2DC，S_△CFD=12，
∴S_△AFB=48．…（4分）
∵

FC

AF

=

DC

AB

=

1

2

，有

S△DCF

S△ADF

=

1

2

，有S_△ADF=24．
同理，S_△CFB=24．
∴梯形ABCD的面积=12+48+24+24=108．…（5分）