Question

【题目】已知△ABC中，∠C是最小的一个内角，过顶点B的一条直线交AC于点D，直线BD将原三角形分割成两个等腰三角形△ABD和△BCD，△ABD中BD＝AD，请探究∠A与∠C的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】∠A与∠C之间的关系是：4∠A+∠C＝180°或∠A+∠C＝90°，∠C是小于45°的任意角．理由见解析.

【解析】

作出图形，再把三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，计算可得出∠A与∠C的数量关系．

设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，

①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB＞90°，

∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．

此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣(90°﹣x)，

整理得3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C，

可得：4∠A+∠C＝180°；

②若∠C是底角，则有两种情况．

第一种情况：如图2，

当DB＝DC时，则∠DBC＝x，

△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．

由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，

此时y＝90°，

即∠ABC＝90°，∠A+∠C＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．

第二种情况，如图3，

当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，

从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，

这与题设∠C是最小角矛盾．

∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．

综上，∠A与∠C之间的关系是：4∠A+∠C＝180°或∠A+∠C＝90°，∠C是小于45°的任意角．