Question

如图，△ABC三个顶点C、A、B的坐标分别是C（0，-3）、A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，其中x₁、x₂是方程x²-2x-8=0的两个根．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM．
①当△CMN的面积与△AMN的面积相等时，求此时线段MN的长；
②当△CMN的面积为2时，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵x²-2x-8=0，
∴x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）；

（2）①∵S_△CMN=S_△AMN
∴AN=NC，
∵MN∥BC，
∴MN为△ABC的中位线
在Rt△OBC中，OB=4，OC=3，则BC=5，
∴，
②设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图）
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0）
∴AB=6，AM=m+2，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC
∴，
∴
∴，
∴
=，
∴整理得：m²-2m=2，
解得m₁=0，m₂=2，
∴点M的坐标为（0，0），（2，0）．
分析：（1）解方程得出方程x²-2x-8=0的两个根即可得出A，B两点坐标；
（2）①利用S_△CMN=S_△AMN得出AN=NC，进而得出MN为△ABC的中位线求出MN即可；
②利用MN∥BC，得出△AMN～△ABC，进而得出，用m表示出△CMN的面积求出m即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积求法，利用相似三角形的性质得出是解题关键．