Question

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，已知Rt△ABC的三边长都是整数且BD=11³，求Rt△BCD与Rt△ACD的周长之比。

Answer 1

解：设BC=a，CA=b，AB=c，
∵Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴，即BC²=BD·BA，
∴a²=11³c，因a²为完全平方数，且11是质数，
∴c为11的倍数，令c=11k²（k为正整数），
则a=11²k，于是由勾股定理得b=，
又因为b为整数，
∴k²-11²是完全平方数，令k²-11²=m²，则（k+m）（k-m）=11²，
∵（k+m）＞（k-m）＞0且11为质数，
∴，解得，
于是a=11²×61，b=11×61×60，
又∵Rt△BCD∽Rt△CAD，
∴它们周长的比等于它们的相似比，
即。