Question

在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．

Answer 1

解：∵A、B是直线与y轴、x轴的交点，
令y=0，解得，
∴；
令x=0，解得y=-3，
∴A（0，-3）；
由勾股定理得，，
（1）若D点在C点上方时，则∠BCD为钝角，
∵∠BCD=∠ABD，又∠CDB=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴，
设D（0，y），则y＞1，
∵，
∴，
∴8y²-22y+5=0，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（0，），
（2）若D点在AC之间时，则∠BCD为锐角，
∵∠ABD=∠BCD，又∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，∴，
设D（0，y），则-3＜y＜1，又，
∴，
整理得8y²-18y-5=0，
解得或（舍去），
∴D点坐标为（0，-）；
（3）若D点在A点下方时，有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD，
又显然∠BAC＜∠BCD，
∴D点在A点下方是不可能的．
综上所述，D点的坐标为（0，）或（0，-）．
分析：先根据一次函数的解析式求出点A及点B的坐标，利用勾股定理解出线段BC、AB的坐标，分一下三种情况进行讨论，（1）若D点在C点上方时，（2）若D点在AC之间时，（3）若D点在A点下方时，每一种情况下求出点D的坐标即可．
点评：此题考查了一次函数的综合应用及坐标与图形的性质，综合性较强，解答本题容易出错的地方时遗漏点D的位置，难点在于每一种情况下求出点D的坐标，难度较大．