Question

7．如图，在直角坐标系中有正方形OABC，以OA为直径作⊙M，在半圆上有一动点P，连接PO、PA、PB、PC，已知A（4，0）．
（1）OP=2时，P点的坐标是（1，$\sqrt{3}$）；
（2）求当OP为多少时，△OPC为等腰三角形；
（3）设P（a，b），S_△POC=S₁，S_△POA=S₂，S_△PAB=S₃，求出S=2S₁S₃-S₂²的最大值，并求出此时P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质求出OA=AB=BC=CO=4，根据圆周角定理得到∠OPA=90°，根据勾股定理求出OE、PE，得到答案；
（2）分PC=PO、CO=CP两种情况，根据等腰三角形的性质以及勾股定理计算即可；
（3）用a、b分别表示出S₁、S₂、S₃，根据射影定理求出b²=a（4-a），根据二次函数的性质解答即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（4，0），
∴OA=4，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=AB=BC=CO=4，
∵OA为⊙M的直径，
∴∠OPA=90°，OP=2，OA=4，
∴∠OAP=30°，
∴∠OPE=30°，又OP=2，
∴OE=1，PE=$\sqrt{3}$，
∴P（1，$\sqrt{3}$）；
（2）如图2，当PC=PO时此时P位于四边形OABC的中心，
过点P作PE⊥OA于E，作PF⊥OC于F，
则四边形OEPF是正方形，
∴PE=OE=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴OP=2$\sqrt{2}$，
如图3，当CO=CP时，以点C为圆心，CO为半径作圆与弧OA的交点为点P．
连PO，连接PM，CM，CM交OP于点G，
在△ADO和△PDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CP}\\{MO=MP}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△PDO，
∴CM⊥OP，OG=PG，
∵OC=4，OM=2，
∴CM=2$\sqrt{5}$，
∴OG=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
则OP=2OG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
当OP为2$\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$时，△OPC为等腰三角形；
（3）∵P（a，b），OA=AB=CO=4，
∴S₁=2a，S₃=8-2a，b²=4a-a²，S₂=2b，
如图2，P（a，b），
由射影定理得，PE²=OE•AE，即b²=a（4-a），
∴S=2×2a×（8-2a）-（2b）²=8（4a-a²）-4b²=-4（a-2）²+16，
当a=2时，S_最大=16，
当a=2时，b=$\sqrt{a（4-a）}$=2，
∴P的坐标为（2，2）．

点评 本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、二次函数的解析式的求法以及二次函数的性质的综合运用，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．