Question

已知：抛物线y=x²+（a-2）x-2a（a为常数，且a>0）。
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C，
①当AC=2时，求抛物线的解析式；
②将①中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t>0），同时将直线l：y=3x沿y轴正方向平移t个单位，平移后的直线为l′，移动后A、B的对应点分别为A′、B′，当t为何值时，在直线l′上存在点P，使得△A′B′P为以A′B′为直角边的等腰直角三角形？

Answer 1

解：（1）令y=0，则x²+（a-2）x-2a =0，
△=（a-2）²+8a=（a+2）²，
∵a>0，
∴a+2>0，
∴△>0，
∴方程x²+（a-2）x-2a=0，有两个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）解：①令y=0，则x²+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=-a，
∵A在B左侧，且a>0，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（-a，0），B（2，0），
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，-2a），
∴AO=a，CO=2a，
在Rt△AOC中，AO²+ CO²=（2）²
a²+（2a）²=20，
可得a=±2，
∵a>0，
∴a=2，
∴抛物线的解析式为y=x²-4，
②依题意，可得直线l′的解析式为y=3x+t，
A′（t-2，0），B′（t+2，0），A′B′=AB=4，
∵△A′B′P为以A′B′为直角边的等腰直角三角形，
∴当∠PA′B′=90°时，点P的坐标为（t-2，4）或（t-2，-4）
∴，
解得t=5/2或t=1/2，
当∠PB′A′=90°时，点P的坐标为（t+2，4）或（t+2，-4）
∴，
解得t=-5/2或t=-1/2（不合题意，舍去），
综上所述，t=5/2或t=1/2。