Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

（1）证明：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；

（2）解：∵AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
又∵∠AOD和∠BOD为对顶角
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴OA=AC=×4=，OB=BD=×3=，
∴S_△AOB=OA•OB=××=．
分析：（1）首先过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，易得四边形ACKD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，易求得BD²+DK²=BK²，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，继而证得AC⊥BD；
（2）由AD∥BC，易得△AOD∽COB，根据相似三角形的对应边成比例，易求得OA，OB的值，继而求得△AOB的面积．
点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．此题综合性较强，难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．