Question

在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE．
（1）求证：△AGE是等腰三角形；
（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比

S△BGE

S△CEF

=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图连AH，根据切线的性质可以得到AH⊥EF，而GE⊥EF，由此得到GE∥AH，所以∠GEA=∠EAH，又根据已知条件可以证明△AHE≌△ABE，由此得到∠BAE=∠EAH，进一步得到∠BAE=∠GEA，从而证明AE=EG，即△AGE是等腰三角形；
（2）设EH=EB=x，可以用x分别表示EC，CF=1-FD，根据切线长定理知道FD=FH，由此得到EF=EH+HF=x+FD，而在Rt△ECF中，EF²=EC²+CF²，可以得到（1-x）²+（1-FD）²=（x+FD）²，由此可以把DF也用x表示，又根据已知条件容易证明△GEB∽△EFC，根据相似三角形的性质得到

BE

CF

=

BG

EC

，而

S△BGE

S△CEF

=

1 2 BE•BG

1 2 EC•CF

=

BE

CF

•

BG

EC

=(

BE

CF

)2={

x

2x 1+x

}2=

1

4

(1+x)2，这样就求出y关于x的函数关系式；
（3）假设BC上存在一点E，能使GE=EF，则

GE

EF

=

BE

CF

=1，根据（2）可以得到x=

2x

1+x

，解此方程求出x，然后结合已知条件就可以判断E点是否存在．

解答：解：（1）连AH，
∵AH⊥EF，GE⊥EF，
∴GE∥AH，
∴∠GEA=∠EAH，
∵AH=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB，
∴△AHE≌△ABE，
∴∠BAE=∠EAH，
∴∠BAE=∠GEA，
∴AG=EG，即△AGE是等腰三角形．

（2）∵EH=EB=x，
∴EC=1-x，CF=1-FD，
∵FD=FH，
∴EF=EH+HF=x+FD，
在Rt△ECF中，EF²=EC²+CF²，
∴（1-x）²+（1-FD）²=（x+FD）²，整理得，（1+x）FD=1-x，
∴FD=

1-x

1+x

CF=1-FD=1-

1-x

1+x

=

2x

1+x

，
∵∠B=∠C，
又GE⊥EF，
∴∠GEB=∠FEC，
∴△GEB∽△EFC，
∴

BE

CF

=

BG

EC

，
∴

S△BGE

S△CEF

=

1 2 BE•BG

1 2 EC•CF

=

BE

CF

•

BG

EC

=(

BE

CF

)2={

x

2x 1+x

}2=

1

4

(1+x)2，
∴y=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

（0＜x＜1）．

（3）假设BC上存在一点E，能使GE=EF，
则

GE

EF

=

BE

CF

=1，
∴x=

2x

1+x

，解得x=0或x=1，经检验x=0或x=1是原方程的解但动点E不能与B，C点重合，
故x≠0且x≠1，
∴BC边上符合条件的E点不存在．

点评：此题把圆的知识放在正方形的背景中，然后把等腰三角形，相似三角形，求函数关系式及自变量与函数值等知识结合起来，综合性很强，学生要有比较好的解决问题的能力．