Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A、B（A在B的右边），与y轴正半轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，抛物线的对称轴为直线l交CD于点M，交x轴于点N，四边形CDAN是平行四边形．
（1）若a=-1，c=

1

2

，求b的值；
（2）若a=-1，求b与c的关系；
（3）抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P，求PM：OC的值．

Answer 1

分析：（1）先将a和c的值代入y=ax²+bx+c，求出C点坐标，结合四边形CDAN是平行四边形便可求出b的值；
（2）将a=-1代入y=ax²+bx+c，再根据二次函数的性质便可求出b与c的关系；
（3）先求出抛物线的顶点P的坐标，便可求出PM：OC的值．

解答：解：（1）∵a=-1，c=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+

1

2

，
∴C（0，

1

2

），
∵点N在对称轴上，
∴N（

b

2

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，

1

2

），四边形CDAN为平行四边形，
∴AN=CD=b，
∴A（

3b

2

，0），
∴-（-

3b

2

）²+

3b

2

•b+

1

2

=0，
b=±

6

3

，
∵-

b

2a

＞0，
∴b=

6

3

；

（2）∵a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（

b

2

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=b，
∴A（

3b

2

，0），
∴-（-

3b

2

）²+

3b

2

•b+c=0，
∴4c=3b²；

（3）∵抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（-

b

2a

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（-

b

a

，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=-

b

a

，
∴A（-

3b

2a

，0），
∴-（-

3b

2a

）²+

3b

2a

•b+c=0，
4ac=-3b²；
∵P为抛物线的顶点，∴P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴PM=

4ac-b2

4a

-c=-

b2

4a

，
∴

PM

OC

=

- b2 4a

c

=-

b2

4ac

=

b2

3b2

=

1

3

．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．