Question

5．如图，直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax²-$\frac{3}{4}$x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，对称轴交直线BC于点N，设P为直线BC上动点，过点P作PF∥ND，交BC上方抛物线于点F，问在直线BC上是否存在一点P，使以P，F，D，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）作EE′∥y轴交BC于E′，如图1，设E（t，-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{4}$t+3），则E′（t，$\frac{3}{4}$t+3），则EE′=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{2}$t，所以S_△BCE=-$\frac{3}{4}$t²-3t，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）如图2，先利用配方法得到D（-1，$\frac{27}{8}$），再利用一次函数解析式求出N（-1，$\frac{9}{4}$），则DN=$\frac{9}{8}$，设P（m，$\frac{3}{4}$m+3），则F（m，-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3），所以PF=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m，然后根据平行四边形的判定得到-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m=$\frac{9}{8}$，再方程求出m即可得到P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=$\frac{3}{4}$x+3=3，则B（0，3），
当y=0时，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，则（-4，0），
把B（0，3），（-4，0）代入y=ax²-$\frac{3}{4}$x+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{16a+4+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）作EE′∥y轴交BC于E′，如图1，
设E（t，-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{4}$t+3），则E′（t，$\frac{3}{4}$t+3），
∴EE′=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{4}$t+3-（$\frac{3}{4}$t+3）=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{2}$t，
∴S_△BCE=S_△ECE′+S_△BEE′=$\frac{1}{2}$×4×EE′=-$\frac{3}{4}$t²-3t=-$\frac{3}{4}$（t+2）²+3
当t=-2时，S_△BCE有最大值3，此时E点坐标为（-2，3）；

（3）存在．
如图2，y=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+$\frac{27}{8}$，则D（-1，$\frac{27}{8}$），
当x=-1时，y=$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{9}{4}$，则N（-1，$\frac{9}{4}$），
∴DN=$\frac{27}{8}$-$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{8}$，
设P（m，$\frac{3}{4}$m+3），则F（m，-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3），
则PF=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m，
∵PF∥DN，
∴当PF=DN时，四边形DNPF为平行四边形，
即-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{2}$m=$\frac{9}{8}$，
整理得m²+4m+3=0，解得m₁=-1（舍去），m₂=-3，
∴此时P点坐标为（-3，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的关系．