Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y＝x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

Answer 1

【答案】（1）点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）t＝2或4；

【解析】

（1）先求得A，B两点坐标，得到的值，再根据相似三角形对应边成比例得到AP与EP的比值，进而得到点P的速度；

（2）分Q，P两点相遇前后两种情况进行讨论，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，由用关于t的式子表示各线段的长，然后求出t的值即可.

解：（1）∵直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，

∴x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝8，

∴，

当t秒时，QO＝FQ＝t，则EP＝t，

∵EP∥BO，

∴，

∴AP＝2t，

∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，

∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；

（2）如图，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，

则∵OQ＝FQ＝t，PA＝2t，

∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，

∴8﹣3t＝t，

解得：t＝2；

如图2，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，

∵OQ＝t，PA＝2t，

∴OP＝8﹣2t，

∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，

∴t＝3t﹣8，

解得：t＝4；