Question

如图，一次函数y=-2x+t（t＞0）的图象与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求点C，点D的坐标；
（2）已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以点C，点D为直角顶点的△PCD与△OCD相似．求t的值及对应的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）令一次函数解析式中y=0，求出对应x的值，确定出C的坐标，令x=0，求出对应y的值，确定出D的坐标即可；
（2）由（1）得出的C与D的坐标，求出OC及OD的长，在直角三角形OCD中，利用勾股定理表示出CD，以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，过P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，如图中红线所示，以D为直角顶点的△PCD与△OCD相似，此时∠CDP=90°，分两种情况考虑：当PD：DC=OC：OD=1：2时，由表示出的DC得到PD的长，根据P在二次函数图象上，设P的坐标为（x，-x²+3x），表示出PM与MD，在直角三角形PMD中，利用勾股定理列出关系式，记作①，表示出CN，在直角三角形PCD与直角三角形PCN中，分别利用勾股定理表示出PC²，将各自的值代入得到关系式，记作②，联立①②可得出t与x的值，进而确定出此时P的坐标；若DC：PD=OC：OD=1：2时，如图所示，同理可以求得t与x的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意t的值及对应P的坐标．

解答：解：（1）对于一次函数y=-2x+t，
令y=0，求出x=

t

2

，令x=0，求出y=t，
∴C坐标为（

t

2

，0），D坐标为（0，t）；
（2）由（1）得：OD=t，OC=

t

2

，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=

5 t

2

，
以D为直角顶点的△PCD与△OCD相似，此时∠CDP=90°，
过P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，如图中红线所示：

若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=

5 t

4

，
设P（x，-x²+3x），
∴PM=ON=x，PN=OM=-x²+3x，MD=-x²+3x-t，
在Rt△PMD中，根据勾股定理得：PD²=PM²+MD²，
∴（

5 t

4

）²=x²+（-x²+3x-t）²，①
又CN=ON-OC=x-

t

2

，
∴在Rt△PDC与Rt△PCN中，利用勾股定理得：PC²=PD²+CD²=PN²+CN²，
∴（

5 t

4

）²+（

5 t

2

）²=（-x²+3x）²+（x-

t

2

）²，②
联立①②解得：x=

1

2

，t=1，
∴此时P坐标为（

1

2

，

5

4

）；
若DC：PD=OC：OD=1：2时，如图所示，同理可以求得t=1，P（2，2），
若以C为直角顶点时，△PCD与△OCD相似，此时∠DCP=90°时，同理可得t=

26

25

，P（

13

5

，

26

25

），
综上，当t=1时，对应的P坐标为（

1

2

，

5

4

）或（2，2）或P（

13

5

，

26

25

）

点评：此题考查了二次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道综合性较强的压轴题．