Question

【题目】如图，是的直径，是上的一点，过点作于点，交于点，且=．

求证：是的切线；

若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，由=，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；

（2）连接BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°．在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先计算出AD=，再计算出CD=；根据垂径定理的推论由=得OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD=，则BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．

（1）连接OC，如图，∵=，∴∠1=∠2．

∵OC=OA，∴∠1=∠OCA，∴∠2=∠OCA，∴OC∥AD．

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BE交OC于F，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ACB中，tan∠CAB==，而BC=3，∴AC=4，∴AB==5．

∵∠1=∠2，∴Rt△ABC∽Rt△ACD，∴==，即=，解得：AD=

∵=，即=，解得：CD=

=，∴OC⊥BE，BF=EF，∴四边形DEFC为矩形，∴EF=CD=，∴BE=2EF=．

∵AB为直径，∴∠BEA=90°．在Rt△ABE中，AE===，∴DE=AD﹣AE=﹣=．