题目内容
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EG⊥AC，垂足分别为F，G．求证：（1）
| EG |
| AD |
| CG |
| CD |
（2）FD⊥DG．
分析：（1）小题利用两角对应相等证明△ADC和△EGC相似即可；
（2）小题先证四边形AFEG是矩形，证出AF=EG，进而证出两边成比例（
=
）且夹角相等，推出△AFD和△CGD相似，证出∠FDG=90°，即可求出答案．
（2）小题先证四边形AFEG是矩形，证出AF=EG，进而证出两边成比例（
| AF |
| CG |
| AD |
| CD |
解答：（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC=∠EGC=90°，
又∵∠C为公共角，
∴△ADC∽△EGC，
∴
=
．
（2）证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG为矩形，
∴AF=EG．
由（1）知
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°，
即∠FDG=90°，
∴FD⊥DG．
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC=∠EGC=90°，
又∵∠C为公共角，
∴△ADC∽△EGC，
∴
| EG |
| AD |
| CG |
| CD |
（2）证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG为矩形，
∴AF=EG．
由（1）知
| EG |
| AD |
| CG |
| CD |
∴
| AF |
| AD |
| CG |
| CD |
∴
| AF |
| CG |
| AD |
| CD |
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°，
即∠FDG=90°，
∴FD⊥DG．
点评：解此题的关键是检查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，难点是找出证明两三角形相似的条件，进而由相似推出新的结论．题型较好，难度适中．
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