Question

关于x的方程kx2-(k+1)x+

k

4

=0有两个实数根．（包括两个相等实数根）
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
（3）若y=k（3+k）（x₁+x₂），k为自变量，用k表示y并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据有两个实数根得到其根的判别式大于等于零，同时还应注意二次项系数；
（2）假设存在，利用两实数根的倒数和为0求得k值即可；
（3）利用求二次函数最值的方法即可求得y的最大值；

解答：解：（1）由题意可知，k≠0且△=（k+1）2-4k•

k

4

≥0
∴k≥-

1

2

且k≠0．
（2）不存在．
设方程的两根是x₁，x₂．x₁x₂=

1

4

≠0，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=0．
∴x₁+x₂=0.x1+x2=-

k+1

k

，
∴k+1=0
k=-1＜-

1

2

．
∴满足条件的实数k不存在．
（3）y=（k+1）（k+3）=-k²-4k-3=（k+2）²+1，
∴对称轴为k=-2，
∵k≥-

1

2

且k≠0
∴k=-

1

2

时有最大值y=（-

1

2

+2）²+1=

13

4

．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及二次函数的最值的知识，知识点较多，难度适中．