Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明AD=BC；证明四边形ABCD内接于圆，得到∠DAC=∠CBD；证明AE=BF，即可解决问题．
（2）由勾股定理求出BD=4

5

cm，根据矩形的性质，即可解决问题．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AC=BD；∠DAB+∠DCB=180°，
∴四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAC=∠CBD；
∵OA=OB，且E、F分别为OA、OB的中点，
∴AE=BF；
在△ADE与△BCF中，

AD=BC ∠DAE=∠CBF AE=BF

，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
（2）由勾股定理得：BD²=AD²+AB²，
∵AD=4cm，AB=8cm，
∴BD=4

5

（cm），
∵点F为OB的中点，
∴OF=

1

4

×4

5

=

5

（cm）．

点评：该题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．