Question

【题目】如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，

∴，解得。

∴抛物线的解析式为：。

（2）∵，∴其对称轴为直线x=2。

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

，解得：。

∴直线BC的解析式为。

当x=2时，，

∴P（2，）。

（3）存在。

如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），

∴N1（4，）。

②当点N在x轴上方时，

如图2，过点N作ND⊥x轴于点D，

在△AND与△MCO中，，

∴△AND≌△MCO（ASA）。

∴ND=OC=，即N点的纵坐标为。

∴，解得或。

∴N2（，），N3（，）．

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（，）或（，）

【解析】

试题本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；

（3）存在．如图2所示，

①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；

②当点N在x轴上方时，如图2，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．