题目内容
如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE
（1）证明：△ADC≌△ABE；
（2）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由；
（3）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地
（1）证明：△ADC≌△ABE；
（2）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由；
（3）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地
（a+2b）
（a+2b）
平方米．（不用写过程）
分析：（1）（1）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得证；
（2）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，等腰直角三角形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△ADE面积之间的关系的关键；
（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米．
（2）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，等腰直角三角形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△ADE面积之间的关系的关键；
（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米．
解答：解：（1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）△ABC与△ADE面积相等．
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，
∵∠BAD+∠CAD+∠BAC+∠DAE=360°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∵∠DAE+∠EAN=180°，
∴∠BAC=∠EAN，
在△ACM和△AEN中，
，
∴CM=EN，
∵S△ABC=
AB•CM，S△ADE=
AD•EN，
∴S△ABC=S△ADE；
（3）由（2）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
∴这条小路的面积为（a+2b）平方米，
故答案为：（a+2b）．
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
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∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）△ABC与△ADE面积相等．
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，
∵∠BAD+∠CAD+∠BAC+∠DAE=360°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∵∠DAE+∠EAN=180°，
∴∠BAC=∠EAN，
在△ACM和△AEN中，
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∴CM=EN，
∵S△ABC=
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∴S△ABC=S△ADE；
（3）由（2）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
∴这条小路的面积为（a+2b）平方米，
故答案为：（a+2b）．
点评：本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△ANE，是判断△ABC与△ADE面积之间的关系的关键．
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