Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、CB上，CD＝DE，∠CDB＝∠DEC，过点C作CF⊥DE于点F，交AB于点G，

（1）求证：△ACD≌△BDE；

（2）求证：△CDG为等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）根据题意和图形，利用全等三角形的判定可以证明结论成立；

（2）根据题意和（1）中的结论，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定可以证明结论成立．

解：（1）∵∠CDB＝∠DEC，

∴∠ADC＝∠BED，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

在△ACD与△BDE中，

，

∴△ACD≌△BDE（AAS）；

（2）由（1）知，△ACD≌△BDE，

∴∠ACD＝∠BDE，

∵在Rt△ACB中，AC＝BC，

∴∠A＝∠B＝45°，

∴∠CDG＝45°+∠ACD，∠DGC＝45°+∠BCG，

∴∠CDF＝45°，

∵CF⊥DE交BD于点G，

∴∠DFC＝90°，

∴∠DCF＝45°，

∵DC＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC，

∵∠DCE＝∠DCF+∠BCG＝45°+∠BCG，∠DEC＝∠B+∠BDE＝45°+∠BDE，

∴∠BCG＝∠BDE，

∴∠ACD＝∠BCG，

∴∠CDG＝∠CGD，

∴CD＝CG，

∴△CDG是等腰三角形．