Question

20．如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°-120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°-30°-60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；

（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=5cm，
∴OP=10cm，由勾股定理得：DP=5$\sqrt{3}$cm，
∴图中阴影部分的面积S=S_△ODP-S_扇形DOB=$\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{5}^{2}}{360}$=（$\frac{25\sqrt{3}}{2}$-$\frac{25}{6}$π）cm²．

点评 本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．