Question

【题目】如图， 是⊙的直径， 是⊙的切线， 为切点， 交⊙于点．

（Ⅰ）若为的中点，证明： 是⊙的切线．

（Ⅱ）若， ，求的度数．

Answer 1

【答案】（）证明见解析；（）．

【解析】试题分析：（1）由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据直角三角形的性质得到AD=DE，求得∠DAE=∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，等量代换得到∠DEO=90°，于是得到结论；

（2）根据射影定理得到AB2=BEBC，求得BE=3，（负值舍去），得到BC=4，根据三角函数的定义即可得到结论．

试题解析：解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA+∠OEA=90°，∴∠DEO=90°，∴DE是⊙O的切线；

（2）∵OA=，∴AB=，∵∠CAB=90°，AE⊥BC，∴AB2=BEBC，即（）2=BE（BE+1），∴BE=3，（负值舍去），∴BC=4，∵sin∠ACB=，∴∠ACB=60°．