Question

【题目】从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．

（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B=50°，∠C=30°，求证：AD为△ABC的优美线；

（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BAC的度数为113°．

【解析】

本题是一道新定义图形的题。

（1）根据三角形的优美线的定义，只要证明△ABD是等腰三角形，△CAD∽△CBA即可解决问题．
（2）如图2中，分两种情形讨论求解①若AB=AD，△CAD∽△CBA，则∠B=∠ADB=∠CAD，则AC∥BC，这与△ABC这个条件矛盾；②若AB=BD，△CAD∽△CBA.

（1）证明：∵，，

∴.

∵AD为角平分线，

∴.

∴.

∴.

∴△ABD是等腰三角形.

∵，，

∴△CAD∽△CBA.

∴AD为△ABC的优美线．

（2）∵AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，

∴△CAD∽△CBA.

∴.

∵△ABD是以AB为腰的等腰三角形，

分两种情况:

当AB=AD时，

∴.

又∵，

∴，不符合题意，这种情况不存在.

当AB=BD时，

∴.

∴.

∴∠BAC的度数为．