题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（2，
），C（4，0），E点从O出发，以每秒1个单位的速度，沿边OC向C点运动，P点从O点出发，以每秒2个单位的速度，沿边OA与边AC向C运动，E、P两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求∠AOC的度数；
（2）过E作EH⊥AC于H，当t为何值时，△EPH是等边三角形．
（3）设四边形OEHP的面积S，求S关于t的函数表达式，并求出其最大值．
（4）当△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，求P点坐标．
【答案】分析：（1）过A作AM⊥OC于M，根据A（2，2
）求出OM=2，AM=2
，根据tan∠AOC=
=
求出∠AOC=60°；
（2）由勾股定理求出AO=4=OC，求出CE=4-t，HC=
EC=2-
t，AH=2+
t，由勾股定理求出EH=（2-
t）
，
求出AP=
AH=1+
t，PH=（1+
t）
，根据PH=EH得出（1+
t）
=（2-
t）
，求出即可；
（3）求出S△AOC=
×OC×AM=4
，S△EHC=
CH×EH=
t2+
t+2
，当0＜t≤2时，P在OA上，过H作HN⊥AO于N，S△AHP=
AP×HN=-
t2-
t+2
，代入S=S△AOC-S△EHC-S△APH求出即可；当2＜t＜4时，过O作OR⊥AC于R，求出S△AOP=
AP×OR=2
t-4
，代入S=S△AOC-S△EHC-S△APO求出即可；
（4）当P在AO上时，过P作PM⊥OC于M，求出OM=t，此时E和M重合，PE=
t，根据△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似得出
=
，求出t=
，即可得出答案；当P在AC上时，此时P和A重合．
解答：解：（1）过A作AM⊥OC于M，
∵A（2，2
），
∴OM=2，AM=2
，
∴tan∠AOC=
=
，
∴∠AOC=60°；
（2）如图1，由勾股定理得：AO=4=OC，
∵∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=4，∠A=∠C=60°，
∵OE=t，
∴CE=4-t，
∵∠C=60°，EH⊥AC，
∴∠HEC=30°，
∴HC=
EC=2-
t，
∴AH=4-（2-
t）=2+
t，
由勾股定理得：EH=（2-
t）
，
∵△PEH是等边三角形，
∴∠PHE=60°，
∴∠AHP=180°-90°-60°=30°，
∵∠A=60°，
∴∠APH=90°，
∴AP=
AH=
（2+
t）=1+
t，
PH=（1+
t）
，
∵△PEH是等边三角形，
∴PH=EH，
∴（1+
t）
=（2-
t）
，
t=
；
（3）如图1，S△AOC=
×OC×AM=
×4×2
=4
，
如图2，S△EHC=
CH×EH=
•（2-
t）•（2-
t）
=
t2+
t+2
，
当0＜t≤2时，P在OA上，如图3，过H作HN⊥AO于N，
∵∠A=60°，AH=2+
t，
∴∠AHN=30°，
∴AN=
AH=1+
t，
由勾股定理得：HN=（1+
t）
∵AP=4-2t，
∴S△AHP=
AP×HN=
•（4-2t）•（1+
t）
=-
t2-
t+2
，
∴S=S△AOC-S△EHC-S△APH=4
-（
t2-
t+2
）-（-
t2-
t+2
），
S=
t2+
t；
当2＜t＜4时，如图4，
过O作OR⊥AC于R，
∵∠A=60°，
∴∠AOR=30°，
∴AR=
OA=2，由勾股定理得：OR=2
，
∴S△AOP=
AP×OR=
（2t-4）•2
=2
t-4
∴S=S△AOC-S△EHC-S△APO=4
-（
t2-
t+2
）-（2
t-4
），
S=-
t2-
t+6
；
（4）当P在AO上时，如图5，
过P作PM⊥OC于M，
∵OP=2t，∠AOC=60°，
∴∠OPM=30°，
∴OM=t，
∵OE=t，
∴此时E和M重合，PE=
t，
∴∠PEO=90°，
∵∠HEC=30°，
∴∠PEH=60°=∠POE，
∵△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，
∴
=
，
∴
=
，
t=
，
∴OE=
，PE=
t=
，
∴P（
，
）；
当P在AC上时，此时P和A重合，如图6，
此时P的坐标是（2，2
）．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用直线进行推理和计算的能力，难度偏大，用了方程思想和分类讨论思想．
）求出OM=2，AM=2，根据tan∠AOC==求出∠AOC=60°；（2）由勾股定理求出AO=4=OC，求出CE=4-t，HC=
EC=2-t，AH=2+t，由勾股定理求出EH=（2-t），求出AP=
AH=1+t，PH=（1+t），根据PH=EH得出（1+t）=（2-t），求出即可；（3）求出S△AOC=
×OC×AM=4，S△EHC=CH×EH=t2+t+2，当0＜t≤2时，P在OA上，过H作HN⊥AO于N，S△AHP=AP×HN=-t2-t+2，代入S=S△AOC-S△EHC-S△APH求出即可；当2＜t＜4时，过O作OR⊥AC于R，求出S△AOP=AP×OR=2t-4，代入S=S△AOC-S△EHC-S△APO求出即可；（4）当P在AO上时，过P作PM⊥OC于M，求出OM=t，此时E和M重合，PE=
t，根据△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似得出=，求出t=，即可得出答案；当P在AC上时，此时P和A重合．解答：解：（1）过A作AM⊥OC于M，
∵A（2，2
），∴OM=2，AM=2
，∴tan∠AOC=
=，∴∠AOC=60°；
（2）如图1，由勾股定理得：AO=4=OC，
∵∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=4，∠A=∠C=60°，
∵OE=t，
∴CE=4-t，
∵∠C=60°，EH⊥AC，
∴∠HEC=30°，
∴HC=
EC=2-t，∴AH=4-（2-
t）=2+t，由勾股定理得：EH=（2-
t），∵△PEH是等边三角形，
∴∠PHE=60°，
∴∠AHP=180°-90°-60°=30°，
∵∠A=60°，
∴∠APH=90°，
∴AP=
AH=（2+t）=1+t，PH=（1+
t），∵△PEH是等边三角形，
∴PH=EH，
∴（1+
t）=（2-t），t=
；（3）如图1，S△AOC=
×OC×AM=×4×2=4，如图2，S△EHC=
CH×EH=•（2-t）•（2-t）=t2+t+2，当0＜t≤2时，P在OA上，如图3，过H作HN⊥AO于N，
∵∠A=60°，AH=2+
t，∴∠AHN=30°，
∴AN=
AH=1+t，由勾股定理得：HN=（1+
t）∵AP=4-2t，
∴S△AHP=
AP×HN=•（4-2t）•（1+t）=-t2-t+2，∴S=S△AOC-S△EHC-S△APH=4
-（t2-t+2）-（-t2-t+2），S=
t2+t；当2＜t＜4时，如图4，
过O作OR⊥AC于R，
∵∠A=60°，
∴∠AOR=30°，
∴AR=
OA=2，由勾股定理得：OR=2，∴S△AOP=
AP×OR=（2t-4）•2=2t-4∴S=S△AOC-S△EHC-S△APO=4
-（t2-t+2）-（2t-4），S=-
t2-t+6；（4）当P在AO上时，如图5，
过P作PM⊥OC于M，
∵OP=2t，∠AOC=60°，
∴∠OPM=30°，
∴OM=t，
∵OE=t，
∴此时E和M重合，PE=
t，∴∠PEO=90°，
∵∠HEC=30°，
∴∠PEH=60°=∠POE，
∵△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，
∴
=，∴
=，t=
，∴OE=
，PE=t=，∴P（
，）；当P在AC上时，此时P和A重合，如图6，
此时P的坐标是（2，2
）．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用直线进行推理和计算的能力，难度偏大，用了方程思想和分类讨论思想．
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